La entrada para que del DPD, en el punto 2.1.6, califica este uso de la conjunción que de "innecesario pero admisible":
Delante de las oraciones interrogativas indirectas dependientes del verbo preguntar, es habitual en la lengua coloquial la presencia de un que, innecesario pero admisible, ante la conjunción si o el pronombre o adverbio interrogativo que introducen la subordinada: «Nos pregunta que si nos gusta la exposición»
Hay un caso en el que el uso de que es obligatorio, y es cuando se utiliza el verbo decir con el significado de preguntar y la oración subordinada comienza con un pronombre interrogativo. El ejemplo que da el DPD es:
Un señor llamó diciendo (=preguntando) que qué pasaba con su ordenador.
En este caso, la conjunción que es obligatoria, porque sin ella la frase tendría un significado distinto (afirmación en lugar de interrogación):
Un señor llamó diciendo (=comunicando) qué pasaba con su ordenador.
Aunque el DPD solo menciona los verbos preguntar y decir, estas consideraciones probablemente también son válidas para algunos verbos con significados similares, como "querer saber" (en lugar de "preguntar") o "gritar" (en lugar de "decir").