Dado que "tirar de la cadena" se ha convertido en locución adverbial, ese es el nombre correcto para la acción, indistintamente del tipo de mecanismo. Cuando alguien dentro de unos años se pregunte porqué se le dice "cadena" si tiene otro mecanismo distinto, al buscar la etimología se dará cuenta de que antiguamente las cisternas funcionaban accionadas por una cadena.
Mis hijos suelen decir "darle a la palanca" porque es lo que tienen nuestros inodoros (una forma que es específica del mecanismo).
Recuerdo haber pensado sobre esta misma cuestión (supongo que es "deformación profesional" por culpa de este sitio), pararme a pensar que es imposible por su edad entiendan lo que significa (o significaba en su momento) el "tirar de la cadena" (creo que tengo algún Superhumor en casa con alguna historieta de Mortadelo en la que aparecen estos modelos antiguos, pero aparte de eso, como no viajen en el tiempo, creo que esos inodoros no los van a ver en la vida).
Tras caer en ello me he sorprendido alguna vez a mí mismo diciendo
Dale al mecanismo (o Acciona el mencanismo)
al intentar buscar algo un poco más general (e independiente del tipo de mecanismo). También podrías decir
Enjuagar el retrete/inodoro
Y esperar que tu interlocutor entienda el cómo hacerlo o a qué te refieres, indistintamente del mecanismo en cuestión.