Quizás (pura especulación al no encontrar ninguna fuente) el cartón del modismo corresponda a una abreviación de cartón piedra
- loc. adj. Dicho de una cosa: Falsa, artificial.
Quedaría así reforzada la ausencia de trampas con la ausencias de cosas falsas o artificiales.
Entiendo que esto es más un comentario que una respuesta, pero no tengo reputación como para ponerlos.
Edición:
La referencia más antigua al modismo que he encontrado es de febrero de 1881, de Madrid Cómico: "Porque para fumarse un cigarro del estanco se necesita consumir por lo menos un wagón de los de sin trampa y sin cartón."
Acabo de encontrar un anuncio del 30/3/1887 de La Crónica (Huesca) que puede indicar un origen diferente (¿quizás literal?) del modismo:
VENTA DE FÓSFOROS Y РАРEL DE FUMAR
de las más acreditada fábricas nacionales y extranjeras
PRECIOS ECONÓMICOS
Docena de cajas de fósforos desde 25 céntimos de peseta á 3 pesetas.
Frascos de hoja de lata, cerilla extra, peso 250 y 500 gramos, 1 y 2 pesetas.
Fósforos por kilos desde 2 pesetas á 6, sin trampa ni carton.