Descargo de responsabilidad. Lo expuesto a continuación ha sido fruto de consultas en el CORDE, CREA, NTLLE, Fichero general de la RAE, Google Maps y otras fuentes, mezclado con un poco de imaginación por mi parte. El resultado es totalmente debatible; si alguien de México nos puede echar una mano, mejor que mejor.
Como has podido comprobar, la expresión ponerse alguien chinito la recoge el DLE como expresión de uso coloquial en México, y significa "ponérsele a alguien carne de gallina". Pero ¿de dónde viene la expresión?
Pues tras un rato buscando en el Fichero general de la RAE por fin he dado con una ficha, perteneciente a unas "Notas a Valle Negro", de Antonio José Ballari, que dice lo siguiente:
Chinita: Diminutivo de china, nombre con que entre nosotros vale, como aquí, a sirvienta. Originalmente indicó a la mujer india pampa. Por extensión se le aplicó a la criolla morena del pueblo, y de allí a las sirvientas llegadas del campo a la ciudad. Con todo, no es término despectivo [...]. Nuestros gauchescos le dan también a esta voz el significado de mujer querida [...]. Y en este sentido de cariño y afecto entre nosotros es muy usada esta voz.
Esta descripción aplica a Argentina, pero en el DAMER se lee en la entrada para china que en México existe la acepción de "mujer joven", significado que pudo llegar a través de Chile, donde significa "mujer del pueblo", y luego a través de Perú y Ecuador, donde significa "mujer indígena adolescente", y desde ahí pierdo la pista en el DAMER pero no es descabellado pensar que el significado se fue extendiendo hacia el norte. Veo en el CORDE usos cariñosos de chinita en Colombia a finales del siglo XIX ("no te enojes, por Dios, chinita mía"). Ya a finales del XX veo casos en el CREA de este uso de chinita tanto en Costa Rica como en Panamá.
En todo caso, yo identifico el uso de "ponerse chinita" en México como haciendo alusión a cómo las mujeres jóvenes se sienten en relación a sus primeros amores. Básicamente lo que entiendo que dice la expresión es que cuando alguien se pone chinito es como si experimentara el amor por primera vez, como cuando se es joven.
Algunas veces, Júbilo, sin querer, queriendo, le rozaba con la mano las piernas y a Lucha se le ponía la piel chinita.
Laura Esquivel, "Tan veloz como el deseo", 2001 (México).
Y el caso más antiguo que me he encontrado (en femenino):
Yo cuando veo los besos que se dan los artistas, me pongo chinita, chinita... ¡de coraje! por lo inmorales que son esas cosas. ¡Qué esperanzas que mi marido me diera un beso!
Wilebaldo López, "Vine, vi... y mejor me fui", 1975 (México).
Curiosamente en masculino se usaba incluso antes, en contextos diferentes a los amorosos:
Dionisio acabó de cerrar la pulquería y se fue a su casa chinito de frío [...].
Mariano Azuela, "La luciérnaga", 1932 (México).
Luego el uso de chino, -a como "mujer joven" y el uso de chinito, -a que nos ocupa debieron establecerse en México durante el primer cuarto del siglo XX como muy tarde. En Argentina el caso más antiguo que he visto es de 1870.