Por lo que sé, a este juego se le llamaba "la pilla", porque consistía en que quien "la lleva" tiene que pillar a los demás.
Cuando pillabas a alguien decías "¡Pillado/a!" o "¡La llevas!", y directamente añadíamos "¡No vale de vuelta!". Se sobreentendía que se refería a... lo que fuese esa cosa que llevaba quien "la" llevaba a partir de ese momento.
También se aplicaba a otros juegos similares como "la peste", parecido a la pilla e imagino que también al mencionado de la roña, solo que a la peste se jugaba cuando ciertos olores invadían de improviso el aula o sitio en el que estuviéramos. La dinámica era parecida: tocabas a otro y decías "¡La peste!", y a continuación cruzabas dos dedos de una mano y hacías un gesto como de clavarlos en tu brazo contrario y decías "¡Me vacuno!", con lo cual se suponía que ya no te la podían volver a pasar. Pero siempre había alguno/a que intentaba devolvértela antes de que te vacunases, y es entonces cuando se recurría, con aire enfadado, al consabido:
¡¡No vale de vuelta!!
Oops, just noticed the question is in English.
As far as I know, this game was called "la pilla" because the one who was "it" had to grab the other players. To grab in Spanish can be said as pillar.
When you grabbed someone, you said "¡Pillado/a!" (meaning "Grabbed!" or "Tagged!") or "¡La llevas!" (both meaning "You are it!"), and immediately we added:
¡No vale de vuelta! (No backsies!).