English
It's a passive relative infinitive clause, using the RAE's terminology.
It's relative, as it's introduced by a relative que (this also, in effect, makes it an adjectival clause). It's passive, because noun that comes before it is the one that is to be acted upon by the verb (*misión is to be cumplida, rather than to cumplir something else). It's infintival because, well, it uses the infinitive :-) You can read about this in the Gramática 26.12 where it lists some of the restrictions for its use (indefinite antecedent, etc).
In some cases, you can switch out a or para in these cases as well (Gramática 26.6l), though that does change its interpretation to a nomininalized infinitive.
It does not come from the tener que or haber que periphrases as evidenced by these two sentences that I think most people would agree are not identical in meaning:
- tengo que comer mucha comida (doctor says I'm underweight)
- tengo mucha comida que comer (I've got —possession— food that ought to be eaten)
The last's infinitive can have subject bestowed upon it.1 As written, it will normally be interpreted as tengo mucha comida que comer(yo), but let's say I'm hosting a dinner party. The subject is now more likely nosotros: tengo mucha comida que comer(nosotros) (that is: the food is here for all of us to eat).
1. Contrary to popular belief, infinitives can in many situations have a subject, however because the infinitive does not conjugate and subjects are often implied, it's harder to notice.
Castellano
Se llama un infinitivo de cláusa subordinada con interpretación pasiva según la terminología de la RAE.
Es de una cláusa subordinada porque se introduce con el pronombre relativo que (por lo tanto, también tiene función adjetival). Tiene interpretación pasiva porque el sustantivo que le antecede es el complemento directo del verbo (es decir, es que la misión es (será) cumplida, en vez de que cumple otra cosa). Es infinitivo por razones obvias. Puedes leer más de ello en la Gramática 26.12 que también pormenoriza algunas de las restricciones de uso (antecedente indefinidos, etcétera)
En algunos casos, puedes cambiar el que por un a o para (Gramática 26.6l) pero en tal caso la interpretación sintáctica muda a un infinitivo nominal (o tal vez adjetival).
Esta construcción no viene de los peráfrasis tener que y haber que, que se evidencia con estas dos oraciones que, creo, la mayoría de los hablantes estarían de acuerdo que no son iguales en sentido:
- tengo que comer mucha comida la médica me dice que soy demasiado flaco
- tengo mucha comida que comer tengo —poseo— comida para la consumición
Al infinitivo de la segunda se le puede conceder un sujeto.1 Tal y como está escrito, normalmente se lo interpretará como tengo mucha comida que comer(yo), pero digamos que el contexto es que doy una fiesta. Ahora el sujeto probablemente es nosotros: tengo mucha comida que comer(nosotros) (es decir: la comida es para la consumición nuestra).
1. Hay muchos que piensan que el infinitivo no puede tener sujeto porque no flexiona, pero la verdad es que sí lo puede tener (tanto explícito como implícito), pero es más difícil notar precisamente porque no flexiona.