Si nos vamos a la Fundéu, indican que:
si se emplea este término aisladamente para referirse a dicha enfermedad, se convierte en un sustantivo común, por lo que ha de escribirse con minúscula inicial y con tilde: alzhéimer.
Pero eso solo explica el uso de tilde, no el que se mantenga la pareja zh tan ajena a nuestro idioma.
Consultando entonces el maravilloso recurso que es el Fichero, podemos ver que alzhéimer [PDF] ya estaba recogida con tilde en el Diccionario general y técnico hispanoamericano, de 1930:
El motivo: que el propio apellido del psicólogo alemán, Alzhéimer, también lo escribían con tilde. Se comprende entonces que, siendo la palabra una simple sustantivación del apellido, se mantuviese la escritura tal cual.
Si la RAE introdujo la palabra en el DLE a través de este otro diccionario, y si en 1930 el término ya estaba en uso médico con tilde, es normal que no se quisiera modificar su escritura, pues llevaría a confusiones innecesarias en un campo (el de la Medicina) que no está para esas cosas.
Sobre que se escribiese el apellido con tilde... Lo cierto es que, hoy en día, Alzheimer se escribe sin tilde tanto en español y alemán, como en inglés, francés, portugués o italiano.
Pero también es cierto que, hasta no hace tantos años, había cierta tendencia a "castellanizar" los nombres y apellidos extranjeros (siendo el "Wolfango Amadeo Mozart" de varias enciclopedias el primer caso que me viene a la mente).
Siguiendo este razonamiento, encuentro un par de resultados en Google Books, en francés y portugués, que escriben el apellido con tilde. Puede que en otros idiomas sucediese lo mismo que indico y que la grafía en español del siglo pasado estuviese influenciada por estos idiomas; o puede que simplemente fuese un intento de indicar que se pronuncia Al'zheimer
(llana) y no Alzhei'mer
(aguda).