Do I use primero or uno/un in the following sentence?
Mi cumpleaños es el ____ de agosto
I know that I can say "mi cumpleaños es el dieciséis de abril," but I don't know what to do when I want to say that my birthday is the first of something.
We say:
Mi cumpleaños es el uno
unde agosto
And of course primero is also correct:
Mi cumpleaños es el primero de agosto
In its entry on uno, RAE says:
Apóc. un1 ante s. m. sing. y, por lo general, inmediatamente antes de s. f. sing. que empieza por /a/ tónica en aceps. 1 y 2.
That is:
Apócope un1 ante sustantivo masculino singular y, por lo general, inmediatamente antes de sustantivo femenino singular que empieza por /a/ tónica en acepciones 1 y 2.
Where apócope is Supresión de algún sonido al final de un vocablo, como en primer por primero.
So: you would suppress the o and say un when uno occurs before a singular masculine noun (Yo tengo un maletín lleno de dinero) or before a singular feminine noun that starts with a stressed a (Vi un águila volando).
In fact the second entry on uno explicitly talks about the case you mention:
2. adj. primero (‖ que precede a los demás de su especie). U. pospuesto al s. Me voy de vacaciones el día uno. Apl. a los días del mes, u. t. c. s. m. El uno de noviembre.
Where Apl. means Aplicado and u. t. c. s. m., usado también como sustantivo masculino.
All in all, this is the same you find for the usage of primero, that's why it is equivalent in usage:
primero, ra
1. adj. Dicho de una persona o de una cosa: Que precede a las demás de su especie en orden, tiempo, lugar, situación, clase o jerarquía. U. t. c. s. Apl. a los días del mes, u. t. c. s. m. El primero de mayo.