En Chile usamos habitualmente la expresión hacer la pata con el sentido de "adular". Hay una entrada en el Diccionario de la RAE, donde se aclara que es un chilenismo pero no se explica el origen.
Muy cercana, también está la palabra patero, "adulador, lisonjero", que también se incluye en el diccionario, aunque mostrando juntas dos entradas con significados muy distintos. Aquí sí se ofrece un origen, dice "de pato".
Por ejemplo
Se quedó y me hizo la pata descaradamente. (En "Profesión: Soltera" de Claudia Aldana)
En Etimologias de Chile las entradas de "patero" son más bien opiniones sin referencia. En otras partes se sugiere que proviene del lunfardo y hay quien dice que tiene alguna relación con "empate".
¿De donde provienen estas expresiones?