Existe un proceso de cambio fonológico que se llama lenición, que consiste en que dadas algunas circunstancias las consonantes fuertes se debilitan. (Por ejemplo, en mi país Chile es muy frecuente que se relaje la [ch] y se diga anoshe escushé una sharla).
Durante la formación del español ocurrió la lenición de algunas consonantes. La más habitual consiste en que las consonantes sordas se sonorizaron, como en la palabra apoteka que derivó al español bodega.
Pero hubo otras formas de lenición. En el caso de esta pregunta, la [k] dejó de ser oclusiva (o sea dejó de interrumpir violentamente el paso del aire en el paladar) y se convirtió en fricativa (o sea, se empezó a dejar pasar el aire "raspando", probablemente con un sonido cercano a las actuales [j], [g] o [ch]).
En un proceso posterior (s. XVI y XVII) varias de esas fricativas se convirtieron en sibilantes, nuestras actuales [c] y [s]. De ese modo, algunas palabras que originalmente se pronunciaban con [k] llegaron a pronunciarse con [c] o [s] y en Latinoamérica sólo con [s]. Por ejemplo:
latín caelum > cielo
griego kenós + phobos > cenofóbia (temor a los lugares vacíos)
latín centum (se pronuncia kentum) > cien
Llegados a este punto ya sabemos cómo el latín khirurgia (se pronuncia kirúrgia) evolucionó a cirugía.
Bueno, ocurre que es muy normal que convivan en el léxico distintas formas de la misma palabra, que evolucionan a distinto ritmo. Una forma se pronuncia tratando de respetar la palabra original, por ejemplo cuando se trata de conceptos técnicos o científicos, o cuando forman parte de lenguajes ritualizados. Y la otra forma evoluciona normalmente, por ejemplo cuando es más cercana al habla doméstica. Aunque en realidad la preferencia de una u otra finalmente se debe a los caprichos de la comunidad lingüística.
Por ejemplo, a partir de la misma palabra apoteka derivaron las palabras botica y bodega.
Eso es lo que ocurre con quirúrgico y cirujano. Ambas formas derivan de la misma raíz, pero la primera se mantiene más apegada al latín.
(Por cierto, la palabra griega original es jeirourgeia, se pronuncia más o menos chirurgia y significa "trabajo manual").