Verter deriva del latín vertere que significa literalmente "dar vuelta". De ahí proviene una lista larga de palabras españolas de significados muy distintos. Como es normal en la historia de las palabras, se ha llegado a esos significados por metáforas y metonimias.
A continuación, en el primer punto, indico el origen de verter para responder a tu pregunta. Después agrego otras palabras relacionadas que pueden parecerte interesantes:
Verter: Por contigüidad de significados (causa y efecto), verter pasó a significar "derramar", porque normalmente al "dar vuelta" un recipiente se derrama su contenido. De esta acepción deriva también la "vertiente" de agua.
Invertir: Formada con el prefijo in, significa literalmente "girar hacia adentro". Pasó a significar cambiar la dirección de algo en el sentido contrario. De ahí proviene también el concepto económico "inversión", que implica (o implicaba originalmente) que los bienes "vuelven" a la empresa.
Versus: Es el participio pasado de vertere, algo así como "dado vuelta". Su uso original en latín era para decir que algo o alguien está orientado hacia... Este significado persiste en la palabra "advertir", que significa "enfrentar, dirigir la atención hacia...". La misma raíz está con un sentido negativo en "adverso" ("confrontado"), y por lo tanto en "adversario" y "adversidad". Con el sentido de "confrontación" la palabra pasó al inglés, y de ahí a su uso actual universal.
Vértebras: los huesos de la columna que le permiten "dar vuelta". De ahí deriva "vertebrados".
Vértigo: la sensación de que la cabeza te "da vueltas". La palabra ya existía en latín, su relación con vertere es anterior.
Que baste con eso, pero hay más: verso, universo, universidad, conversar, reverso, revés, controversia, aniversario, vértice, vertical, diverso, divertido.