Un nombre ambiguo es aquél que puede ser usado en másculino o en femenino y su significado no cambia:
Los nombres ambiguos en cuanto al género son aquellos que se pueden utilizar tanto en masculino como en femenino sin que cambie su significado. Algunos ejemplos son mar, maratón, linde, dracma y azúcar.
En el caso de Internet, por ejemplo, además de poder usarse la Internet o el Internet, en España al menos es muy usual verlo u oírlo como "Internet" sin artículo, aunque se usa en masculino: "Internet es muy amplio". Otros, como tu profesor, prefieren el femenino: "la Internet es muy amplia".
Por tanto, la respuesta a sobre qué género usar en los sustantivos ambiguos es que ambos géneros están permitidos. Generalmente suele haber preferencias en cada palabra según el uso, tradición o área.
Hay otros nombres ambiguos como los que se dan en el ejemplo: mar, maratón, linde, dracma y azúcar:
- El mar o la mar.
- El maratón o la maratón.
- El linde o la linde.
- El dracma o la dracma.
- El azúcar o la azúcar.
Como ya he dicho antes, el uso de uno u otra género puede depender de cómo se haya usado tradicionalmente en una zona (caso de Internet), o del contexto en el que se use ("mar" en contextos marinos suele emplearse en femenino).
Sobre azúcar, puedes leer aquí algunos comentarios muy interesantes al respecto:
Lo que hace especial a azúcar en comparación con otros nombres
ambiguos en cuanto al género es que se combina con el artículo
masculino también cuando se usa en femenino:
Los propios industriales refresqueros han devaluado el azúcar refinada
en 15 y 20 por ciento.
No son nombres ambiguos los que al cambiar el género cambia también su sinificado: "el cólera" y "la cólera" son cosas distintas.