Expongo mi propia teoría, que no por ello quiero decir que sea válida, para someterla a vuestro criterio (y crítica). Encuentro en el CORDE la siguiente cita:
-Si—Si eso es así -dijo Sancho-—dijo Sancho—, vea el señor doctor de cuantos manjares hay en esta mesa cuál me hará más provecho y cuál menos daño, y déjeme comer dél sin que me le apalee; porque por vida del gobernador, y así Dios me le deje gozar, que me muero de hambre, y el negarme la comida, aunque le pese al señor doctor y él más me diga, antes será quitarme la vida que aumentármela.
-Vuestra
—Vuestra merced tiene razón, señor gobernador -respondió—respondió el médico-médico—, y, así, es mi parecer que vuestra merced no coma de aquellos conejos guisados que allí están, porque es manjar peliagudo. De aquella ternera, si no fuera asada y en adobo, aun se pudiera probar, pero no hay para qué.Miguel de Cervantes Saavedra, "Segunda parte del ingenioso caballero don Quijote de la Mancha", España (1615)
La sensación que me da es que estamos ante un juego de palabras. Por un lado, sabemos que los conejos tienen un pelaje peliagudo, según la primera acepción. Pero el doctor le recomienda no tomarlo por ser peliagudo, pero para la salud (segunda acepción). Es posible que ya desde antes se supiera que el exceso de conejo podía provocar males en la salud de las personas que podían permitírselo, y se asociaran los alimentos de animales peliagudos con ser un asunto peliagudo para la salud.
Está algo cogida por los pelos (agudos) la teoría, pero no quería dejar de compartirla.