De hecho, menos la primera todas son correctas. El equivalente en inglés sería así:

 - ¿Estabas despierto? O te desperté...     *Were you awake? Or did I awoke
   you...*

In this case it is no not correct because you're not asking, you're assuming it.


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 - ¿Estabas despierto o te desperté? *Were you awake or did I awoke
   you?* 

This is fine. One question with a conjunction


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 - ¿Estabas despierto? ¿O te desperté? *Were you awake? Or did I awoke
   you?* 

Fine also, there are two different questions, both of them are ok


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 - ¿Estabas despierto? O, ¿te desperté? *Were you awake? Or, did I awoke
   you?* 

Same, two questions, in this case, the conjunction is outside the question but it is equally correct

Otro detalle a tener en cuenta, detras del interrogante "?" no se pone punto (ni coma tampoco) El interrogante cuenta como un punto, por lo tanto después siempre debes poner mayúscula