Según el DLE, un cónsul es:
Persona autorizada en una población de un Estado extranjero para proteger las personas e intereses de los individuos de la nación que la nombra.
Generalmente, la persona es del país que representa. Es decir, si eres un cónsul de Alemania, sueles ser alemán y te envían a Francia a ejercer de cónsul alemán en Francia.
El de cónsul honorario es un título que, como indica su nombre, es honorario y se otorga generalmente por méritos generalmente. De ahí que sea una especie de agradecimiento de un país a un miembro del otro.
Dado todo este contexto, cuando dice Persona que no suele tener la nacionalidad del país por cuenta del que actúa, sino la del de residencia o la de un tercer Estado se refiere a que el cónsul honorario suele ser una persona que representa a un país del que no es original.
Siguiendo con el ejemplo de antes, podríamos hablar de El francés Michael Perigord fue designado cónsul honorario de Alemania en Francia por su larga colaboración en la importación de productos alemanes en Francia.
(Por cierto, parece que hay un errata en "sino la del de residencia", o sea, debería ser "sino la de de residencia", ¿no es así?)
La frase dice:
Persona que no suele tener la nacionalidad del país por cuenta del que actúa, sino la del de residencia o la de un tercer Estado (...)
Este sino la del de residencia se refiere a la nacionalidad. Por tanto, está diciendo persona que suele tener la nacionalidad del país de residencia. Esto es, que el cónsul honorario suele ser nacional del país en el que vive y no del que lo designa.