La variedad de español hablada en México tiene muchas particularidades que la hacen facil de reconocer, y este es un buen ejemplo. La forma original y la más extendida es llevar, y es muy probable que quien no sepa que aprendiste en México lo tome por un error.
Esto es porque en español, tener tiempo generalmente apunta hacia el futuro, así si le preguntas a cualquiera si tiene tiempo, entenderá que le estás preguntando por el tiempo que aun no ha gastado, y no por el tiempo que ha invertido en algo.
Esto es solo para tiempo pero no para las unidades como día, mes, año, hora...
por ejemplo, cualquier hispanoparlante entenderá esto:
Tengo muchos años de experiencia.
Esto es así porque estas palabras son contables, mientras que tiempo es incontable. Uno puede decir:
Tengo veinte años de experiencia.
pero la frase...
Tengo veinte tiempos de experiencia.
carece de sentido, ya que tiempos no aporta información.
Aun así, no porque una forma esté poco extendida tienes que dejar de usarla. Al contrario, le da color a tu forma de expresarte y demuestra el esfuerzo no solo por aprender la lengua, sino también por integrarse. Yo aprendí inglés en Australia y sigo respondiendo a thanks con un no worries ;)
Edito:
Uno puede seguir teniendo cosas incontables siempre que no las trate como unidades, usando palabras como mucho, poco, bastante, algo o nada. Por ejemplo:
Tengo mucho tiempo libre.
Bebe algo de agua.
También puede convertirlo a contable usando unidades de apoyo, así:
Tengo un montón de tiempo libre.
Bebe un litro de agua.
Tengo mucho tiempo sin ir al cine y Llevo mucho tiempo sin ir al cine
aunque la última me parece más común.