Son correctos los comentarios. Tenés que usar el subjuntivo en ambos casos para concordar con el tipo de negación que usaste al principio de la oración. El primer caso es más sencillo, simplemente lo traducimos en presente:
I don't think he is winning this game.
No creo que [él] esté ganando la partida.
El segundo caso puede confundir porque refiere al futuro, entonces si sólo te basás en la tabla de conjugaciones podrías creer que tendrías que conjugarlo en subjuntivo y futuro. Lo cierto es que esta conjugación es muy rara y se usa en contextos muy específicos; recordemos además que en el subjuntivo no siempre hay una correspondencia perfecta entre el tiempo con el que se nombra canónicamente a la conjugación y entre el tiempo 'verdadero', es decir aquel al que refiere el verbo visto como parte de una oración. Así que está el recurso de combinarlo con el verbo ir en subjuntivo y presente:
I don't think he will win this game.
No creo que [él] vaya a ganar la partida.
O bien, se puede directamente conjugar el verbo en presente, que en este caso sigue teniendo un sentido similar, aunque también puede usarse para situaciones más alejadas en el tiempo:
I don't think he will win this game.
No creo que [él] gane la partida.