Hay que irse muy atrás para encontrar una explicación, pero afortunadamente en este caso el amigo Covarrubias nos saca de dudas. Dice lo siguiente en su Tesoro de 1611:
Mudar camisa, tomarla limpia: y los trabajadores que estan a jornal toda la semana, dizen que van el sabado a mudar camisa.
Nótese que la camisa entonces se refería a la prenda que se llevaba pegada a la piel, bajo las demás capas de ropa, de hecho dejar a alguien en camisa era sinónimo de desnudarlo. Más adelante dice:
Estar la muger con su camisa, estar con su regla, o menstruo, porque no la ha de mudar hasta que de todo se le aya acabado la purgacion, y las que por muy limpias lo han hecho, les ha costado caro, y a muchas la vida.
Desde luego, la vida de las mujeres no debía de ser nada fácil hacia los siglos XVI y XVII, épocas donde he visto textos que se referían a la menstruación con este término. Por tanto, la acepción viene de la costumbre de no cambiarse las mujeres la camisa mientras estaban con el periodo. Si en el Autoridades del siglo XVIII ya se marcaba la voz como antigua, esperemos que eso significara que ya por entonces las dejaran cambiarse de camisa al menos.