Tu análisis parece bastante correcto. Lo mejor en estos casos es ir descomponiendo el problema en partes más pequeñas, con la vieja táctica de "divide y vencerás". Así que vamos allá.
Me temo que el agua fresca no sea la mejor solución para curar la quemadura que se hizo con la cacerola llena de aceite hirviendo.
La primera frase es:
Me temo X.
Aquí se usa el verbo temer, que es transitivo y usado más como pronominal, de ahí el me inicial. Así que X es el complemento directo de la oración. Descompongamos X:
El agua fresca no es Y.
Cambio el verbo a indicativo para mejor comprensión de la frase. Aquí la estructura es sencilla: oración copulativa tipo "X [no] es Y", donde Y es el atributo de X. Descompongamos Y:
La mejor solución para Z.
Aquí tenemos un sintagma nominal la mejor solución, seguida de Z que, como bien has dicho, en este caso es una oración subordinada sustantiva con el verbo en infinitivo (equivaldría a "la mejor solución para eso"), introducida por para en su acepción 4. Descomponemos Z:
[...] cura la quemadura W.
Cambio el verbo y supongo un sujeto elidido. Analizando, aquí W sería un complemento adjetival de quemadura, que a su vez sería el complemento directo de curar, verbo transitivo. Descomponemos W:
Se la hizo con la cacerola llena de aceite hirviendo.
La preposición con denota el medio, modo o instrumento que sirve para hacer algo, por lo que efectivamente introduce un complemento circunstancial de modo. ¿Cómo se hizo la quemadura? Con la cacerola de aceite hirviendo. A partir de aquí ya no tenemos más frases subordinadas. Simplemente hirviendo es el adjetivo de aceite, llena es adjetivo de cacerola, y de aceite hirviendo es un sintagma preposicional que complementa al adjetivo llena.