This Fundéu article explains the difference quite clearly:
Del Diccionario panhispoánico de dudas:
necesitar. ‘Tener necesidad de alguien o algo’. Se construye normalmente con complemento directo: «Vamos a necesitar tres coches» (Mastretta Vida [Méx. 1990]); aunque también es correcta la construcción intransitiva, con un complemento introducido por de: «Don Raimondo necesitaba de la soledad para concentrarse» (Mujica Escarabajo [Arg. 1982]). Cuando lo necesitado se expresa mediante un infinitivo o una oración subordinada, solo es posible la construcción transitiva: «Necesitaba pensar en otros para olvidarse de sí mismo» (Souza Mentira [Perú 1998]); «Necesito que me respondas ahora» (Contreras Nadador [Chile 1995]).
The semantic relationship between the subject in need and the object needed is more indirect when "necesitar" is intransitive and "de" is used, for example:
Necesito tus servicios (this is an outright assertion that I need your services).
Necesito de tus servicios (this sounds less committed, perhaps even more polite, as if I said: Your services will be appreciated).
In the phrase:
- lo que todo hombre necesita de una mujer
the verb is transitive because the pronoun "lo que" stands for the thing needed, and "de" introduces an adverbial of origin.
It seems to me that "de" will sound fine with some nouns, usually more abstract, but not with others, usually more concrete. In the sentence provided by DPD, for example, we would never say "necesitaba la soledad", just as we would also never say "necesito de dinero".
With "requerir", the same difference seems to apply:
El verbo requerir, con el significado de ‘necesitar algo’, se utiliza normalmente sin la preposición de («requerir algo»), aunque se está extendiendo su uso, también válido, con de («requerir de algo»).
En los medios de comunicación pueden verse frases como «Punta Arenas requiere de un proyecto cultural», «La juventud requiere un cambio de fondo» o «Empresas requieren de mayor presencia en el mundo digital».
Como señala el Diccionario panhispánico de dudas, requerir es un verbo transitivo cuando tiene el significado de ‘necesitar algo’. Sin embargo, si va seguido de la preposición de pasa a ser intransitivo. El origen de este doble uso está en la analogía que se establece con el verbo necesitar, que admite ambas opciones.
De esta manera, los tres casos anteriores son válidos.
(Source)
There is a third, less usual verb, where "de" can be used or omitted with more or less the same rate of frequency as with "necesitar", and that is "precisar" (curiously, it does not appear in DRAE). However, the abstract/concrete differentiation I made with "necesitar (de)" above does not seem to apply in this case:
verbo transitivo/verbo intransitivo. Necesitar una cosa para un fin determinado.
"tres de los heridos no precisaron hospitalización; una vez instalado en su nuevo hospedaje se las ingenió de manera de precisar de más ayuda; para combatir el frío precisaba de pieles y leña"
