La palabra "también" puede ir después de una coma, pero no en el caso propuesto, donde estamos en presencia de dos oraciones yuxtapuestas o asindéticas (lo que sería en inglés una run-on sentence o un caso de comma splice).
Lo correcto sería decir:
- Juan deberá comprar papas, carne, frutas y verduras. También deberá preguntar el precio de las zapatillas que tanto le gustan. ("gustan" porque "zapatillas" es plural.)
Después de "también", podría colocarse una coma (opcional).
- Juan deberá comprar papas, carne, frutas y verduras. También, deberá preguntar el precio de las zapatillas que tanto le gustan.
Podría usarse coma antes de "también" en este caso:
- Juan deberá comprar papas, carne, frutas y verduras, también.