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A la hora de dividir tanto las horas como los grados, decimos minuto a la primera subdivisión en 60 partes, el cual deriva de la misma palabra latina de la que deriva menudo, mientras que a la segunda subdivisión sí que se la denomina segundo. ¿Por qué se dice pues minuto y no primo o primero?

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Esto en realidad es común a muchos idiomas, tanto descendientes del latín como otros que no pero que han adoptado los términos latinos. La explicación se puede leer tanto en la Wikipedia como en otras fuentes tales como Etymonline. Aunque tampoco está de más dejarlo aquí escrito.

Básicamente todo se remonta al astrónomo y matemático Claudio Ptolomeo. En sus investigaciones decidió denominar a las subdivisiones del grado pars minuta prima y a las de estas pars minuta secunda, que literalmente significan "parte menuda primera" y "parte menuda segunda".

En el primer caso, de "minuta prima" lo que prevaleció fue el concepto de que se trataba de una "parte pequeña" (menuda), por lo que la voz que prevaleció fue minuta y que, al contrario que ocurrió con menudo, al ser un concepto científico poco usado en el habla común apenas evolucionó en su pronunciación. De hecho el primer caso que encuentro en el CORDE es de un texto escrito entre 1381 y 1418, titulado Sevillana medicina de Juan de Aviñón:

[...] ca el altura del sol es en Seuilla en treynta y siete grados: & treynta minutos [...].

En el segundo caso, el concepto que prevaleció fue el hecho de que era una segunda subdivisión de una parte que ya era pequeña de por sí, por lo que secunda fue la voz que se acabó usando para denominarla, que evolucionó a segundo a la par que sus otras acepciones.

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