Ese uso del condicional en el caso que planteas es perfectamente válido. Si quieres que suene más literario, yo lo escribiría de la siguiente forma:
Llegué a Nueva York, donde pasaría los siguientes días.
En palabras de la propia RAE, el condicional simple se interpreta como un "futuro del pasado" (de ahí su otro nombre: "pospretérito"). Esto se puede ver en frases como Dijo que asistiría a la reunión, en las que si se cambia el condicional por el futuro, la acción de asistir se interpretaría como posterior al momento del habla. Luego se usa el condicional para expresar una acción posterior a otra en el tiempo, pero sin orientarla respecto del momento del habla.
El uso concreto del condicional en el caso de tu ejemplo se trata en la Gramática de la RAE en el párrafo 23.15r. Cito:
Este uso del condicional [...] se ha llamado FACTUAL, pero podría denominarse también NARRATIVO, para equipararlo al imperfecto del mismo nombre. En esas oraciones no se introducen situaciones hipotéticas, sino hechos acaecidos. Al igual que sucede con el imperfecto narrativo, el condicional que se le asimila se usa sobre todo en la lengua literaria, en la periodística y en otros registros cultos de la lengua escrita:
Meses más tarde, eso se convertiría en uno de tantos dolores de cabeza para el empresario guatemalteco (Salvador Hoy 26/8/1996); [...] o el secuestro aéreo del congoleño Tshombe, conducido a Argelia, donde moriría después de unos años de cárcel (Alférez, Políticos); Al final el partido terminaría 2-0 (Público, 24/5/2008); [...].
Ahora bien, como su nombre indica, este uso del condicional es muy correcto pero suena muy literario, y no te lo recomendaría en el lenguage oral. Si prefieres una versión más sencilla, puedes usar simplemente el pretérito perfecto simple:
Llegué a Nueva York, allí pasé unos pocos días.