Remanguillé y a la remanguillé aparecen en la edición actual del DLE como:
Remanguillé
[sin definición]a la remanguillé
1. loc. adv. coloq. De forma desordenada. Colocaron los muebles a la remanguillé. U. t. c. loc. adj. Una habitación a la remanguillé.
2. loc. adv. De manera descuidada o imprecisa. Hizo el presupuesto a la remanguillé. U. t. c. loc. adj. Un presupuesto a la remanguillé.
3. loc. adv. De forma inadecuada. Se fueron a la remanguillé. U. t. c. loc. adj. Una despedida a la remanguillé.
Consultando el NTLLE, parece que no fue incluida en el DLE hasta 1985 y con unas acepciones ligeramente diferentes:
remanguillé (a la). loc. adv. fam: Estropeado, en mal estado. En completo desorden, patas arriba.
Sin embargo, aparece ya en 1919 en Los hijos de nadie de Fernado Mora:
... crees que pué ascender a fenómeno quien dió aquel remanguillé y aquel otro de tirón?
Y una búsqueda en la Hemeroteca Digital arroja casos de uso desde 1913 en adelante.
Por ejemplo, en El Imparcial (24/03/1913), describiendo una corrida de toros:
Gallito comienza con un buen cambio: sigue toreando por naturales, preparados, de molinete, hasta de «remanguillé» ...
No he encontrado nada sobre su origen.
Tampoco aparece en el Diccionario de americanismos ni en el Fichero General de la RAE, por lo que me pregunto por el origen y evolución del significado de la palabra y de la locución.
Todos los ejemplos de uso que he encontrado parecen proceder de España, por lo que surge una cuestión adicional: ¿se utilizan / entienden fuera de España?