Para mi la diferencia radica en que el uso de que "play" es una ramificación de significados:
El significado de "Play" esta mas acercado a "ejecución y movimiento", ya que su raíz etimológica viene de "moverse rápidamente".
Es esta manera en la que "Play" puede referirse casi a cualquier actividad estructurada que se refiera a mover o iniciar algo:
Revisemos los siguientes ejemplos:
Play the song
Play the movie
Play the piano
los tres tienen un significado similar que denota la acción de iniciar y hacer algo:
Canta la canción
Reproduce la pelicula
Toca el piano
De esta misma manera "Play" como sustantivo puede significar otras cosas cuyo efecto sea la ejecución de un movimento:
That play was a smart play / Esa fue una jugada inteligente (deportes)
The play starts in 5 minutes / La obra (teatral) inicia en 5 minutos
Y finalmente esta la acepción de "jugar", que se puede entender que pudo haber adquirido ese significado de cómo los juegos movidos al existir mucho movimiento tendrías un "play"
Y por otro lado....
Game
Que es simplemente un "juego", un juego con un sistema de reglas estructuradas
ya sea dentro de los deportes o distintos ámbitos.