En la entrada del DRAE, en sus acepciones 7 y 8 no habla del origen, pero sí de ese mismo significado:
7. m. Razón de ser, finalidad. Su conducta carecía de sentido.
8. m. Significación cabal de una proposición o cláusula. Esta proposición no tiene sentido.
Del verbo sentir indica que viene del latín.
En el diccionario inglés Merrian Webster:
Origin of SENSE
Middle English, from Anglo-French or Latin; Anglo-French sen, sens sensation, feeling, mechanism of perception, meaning, from Latin sensus, from sentire to perceive, feel; perhaps akin to Old High German sinnan to go, strive, Old English sith journey.
First Known Use: 14th century.
Ahora habría que mirar en obras de Violante de Aragón y otros anteriores, para ver si ya se utilizaba en el español de esa época la palabra sentido. Mi opinión (especulativa) es que tienen la misma raíz latina y que el uso en español no depende del uso en inglés.