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Como se puede ver en esta respuesta, engatusar significa:
"Ganar la voluntad de alguien con halagos para conseguir de él algo".
Se me viene a la idea un gato jugando con su presa ratón pero no me cuadra porque allí no se está empleando ningún engaño, ya para ese momento es demasiado tarde.
Pues no vas desencaminado. Según el DLE, la palabra engatusar viene de engatar, con el mismo significado de "engañar halagando", y esta de en- y gato.
Dice Covarrubias en su diccionario de 1611:
ENGATAR, vale comunmente engañar, tomada la comparacion del gato, quando quiere asir al raton.
La voz engatusar aparece registrada en 1732 en el Autoridades, por lo que es un poco más tardía que engatar, registrada según Corominas en 1601. Corominas también afirma que la voz pudo surgir confundida con el antiguo encatusar, derivado de encantar ("engañar con brujerías", registrada en 1534), la propia voz engatar, y engaratusar ("engañar con halagos", derivada de garatusa "carantoña", registrada en 1509). Finaliza diciendo que resulta pues de "engaratusar bajo el influjo de engatar".
encantusar -un derivado de encantar (hechizar)- y engatar