El arcedianato es la dignidad del cargo de arcediano (también conocido como archidiácono).
Similarmente, el deanato (a veces decanato) es la dignidad del cargo de deán.
Es posible que se utilizase "anato" como nombre genérico para las dignidades eclesiásticas: deanatos, vicedeanatos, arcedianatos, etc. En tal caso, "derecho de anato" sería el derecho a ostentar un cargo eclesiástico, y el texto vendría a querer decir que el arcediano renunció a ostentar dicho cargo.
También puede ser (yo lo veo más probable) que el documento sea una mala transcripción donde se han fusionado dos "de":
Renuncia del arcediano, Agustín Fernández San Vicente, de los derechos de deanato de la iglesia de Durango