Sablazo aparece en el DLE como
3. m. coloq. Acto de sacar dinero a alguien pidiéndoselo, por lo general, con habilidad o insistencia y sin intención de devolverlo.
Y con significados relacionados, sablear
De sable1 y -ear.
1. tr. coloq. Sacar dinero a alguien dándole sablazos, esto es, con petición hábil o insistente y sin intención de devolverlo. U. t. c. intr.
y sablista
De sable1 e -ista.
1. adj. coloq. Que tiene por hábito sablear. U. m. c. s.
y sable
Del fr. sabre, este del al. ant. sabel, y este del húngaro szablya.
1. m. Arma blanca semejante a la espada, pero algo corva y por lo común de un solo corte.
3. m. coloq. Habilidad para sacar dinero a otro o vivir a su costa.
Indagando en el NTLLE he encontrado que sablazo se recoge desde 1817, pero únicamente con la acepción de golpe dado con un sable, y no es hasta 1889 cuando el DRAE recoge la acepción de "Acto de sacar dinero a uno, o de comer, vivir o divertirse a su costa". Sablista figura en esa misma edición, mientras que sablear y sable son posteriores.
En el CORDE he encontrado una referencia anterior (énfasis mío):
... le administraba un modesto sablazo, ó en otros términos, le pedía un duro. (Carlos Coello, Cuentos inverosímiles, 1872-1878)
Este texto parece ser el primero en el que se recoge este uso de sablazo, pero al mismo tiempo se explica su significado, lo que sugiere que no estaba muy extendido.
Pero ¿cuál es la relación entre el golpe dado con un sable y el arte de sacar dinero a uno? Dado que las definiciones mencionan arte, habilidad, etc. para obtener el dinero, no parece que la relación sea con amenazas enarbolando un sable.