No, porque lo
es un pronombre, y como tal sustituye a un nombre que ha sido ya mencionado y tanto hablante como receptor entienden (se refiere siempre a un sustantivo mencionado en el contexto que reproduce anafóricamente, para no tener que repetir el mismo sustantivo constantemente
1).
Dado que ese lo
sustituiría al cubo de agua, su uso sería redundante, ya que en la misma frase se está mencionando al cubo de agua.
Podrías decir
Yo quería un cubo de agua y ese hombre me lo extrajo solícito
porque eso es equivalente a
Yo quería un cubo de agua y ese hombre me extrajo solícito un cubo de agua
que es para lo que sirve el pronombre, para evitar esa repetición. En el caso que citas en la pregunta esa repetición no existe y el objeto (el cubo de agua) no ha sido mencionado previamente, por lo que no se puede usar ahí un pronombre (a menos que quede claro por el contexto o texto que no se incluye en la cita que ese lo
hace referencia al cubo).
1- Pronombre personal neutro lo