Lo primero sería ver que en latín el día siguiente es cras y en las lenguas romances el término haya "desaparecido" (sobre esto hablamos luego), por tanto sería cuestión de buscar desde otra lengua latina.
El francés Demain se origina, según esta página de la palabra latina mane, es decir a primera hora y citando del artículo (la traducción no es la mejor pero espero que la idea se entienda)
El uso del término en la mañana para designar el día siguiente es común. Se encuentra en alemán Morgen, danés y noruego i morgen, sueco Morgon, holandés Morgen. El Tomorrow inglés también está relacionado con la partícula mar- de morning, está relacionado con la idea de la luz, de algo que brilla.
Es decir que el cambio no afectó solo al mundo latino sino también aplica otras familias lingüísticas. Y aunque parece que en latín mane ya hacía intentos para ser la palabra que designara al día siguiente y aunque nuestro objetivo es en español, se menciona que en frances Demain ya era aceptada hacia el 1080.
Ahora, sobre cuando se asienta el mañana en términos de futuro en español, vale aclarar que la única lengua que preservó el cras, como decía Pedro, es el español, y si buscamos en escritos entre la época del cid y el diccionario de Nebrija (época en la cual el mañana ya debe ser popular) encontramos en El Libro del Buen Amor del Arcipreste de Hita (mediados del siglo XIV) se menciona la frase:
si oy casar la quieren, cras de otro se enamora,
además de hoy en cras (una especie de refrán) lo que nos da a entender que el término se populariza después. El Rimado de Palacio de Pedro Lopez (final del siglo XIV) aparece
Los que los sus pecados non quieren confesar
e cras e cras diziendo lo quieren alongar
Solamente hasta la segunda mitad del siglo XV aparece escrito el mañana sin el cras (en La Celestina y a la Gramática de Nebrija). En obras como el Conde Lucanor o el Libro del Buen Amor, mañana es temprano. Así pues, la palabra no se nota sino hacia el siglo XV (en escrito) y ya entramos en especulaciones, pero lo más probable es que el cambio a nivel popular fuese incluso desde los mismos tiempos que en Francia.