Si el empleado hace servicio directo al cliente creo que sería apto decir
cajero/cajera
pero si el contexto no indica claramente banco entonces habría que ampliar esto a cajer@ del banco. Creo que "cajer@" es equivalente al "teller" de inglés, solo que ahí, "teller" solo se usa para bancos, así que ahí no hace falta agregar nada; sin embargo, a veces se agrega "bank" de todas maneras: "bank teller."
Cuando se llama por teléfono para hablar con un representante que da servicio al cliente, entonces no se puede usar ni cajer@ ni teller. En este caso creo que se utilizaría un término más general -- representante, etc.
Para mí, "bancario" me sugiere alguien que está un poco alto en la jerarquía del banco. Si llamara para ajustar mis (hipotéticas) inversiones, creo que hablaría con un bancario. Si llamara para pedir un préstamo, creo que hablaría con un oficial de préstamos o quizás también un bancario. Pero si llamara para transferir un dinero a la cuenta de mi hijo, creo que sería un término más general -- hablaría con, por ejemplo, un representante del banco.