Dice la NGLE (27.1d) que
Mientras que el infinitivo puede ser nominal o verbal, en ambos casos de modo productivo, el gerundio se suele construir como verbo, aunque esporádicamente se lexicalice como adjetivo, adverbio o locución adverbial (…). En cuanto forma verbal, el gerundio admite sujetos, sean expresos (…) o tácitos (…). Admite también el gerundio los demás complementos que corresponden al verbo, sean directos (leyéndolo), indirectos (hablándole de ese modo), de régimen (refiriéndose a su trabajo), circunstanciales (trabajando en la oficina) o atributos (permaneciendo alerta), entre otros.
Con base en esta aclaración, se puede testear si el gerundio tiene una función verbal o adverbial. En el primero ya vemos que forma parte de una perífrasis. Esa perífrasis es inseparable, ya que Pablo está significa algo muy diferente a Pablo está durmiendo. Tan diferentes son semánticamente que es fácil imaginarse una conversación donde se contrasta una con la otra:
—Hola, ¿está Pablo?
—Sí, Pablo está, pero está durmiendo.
En cuanto al segundo ejemplo se puede ver que el gerundio es verbal agregándole complementos verbales:
Me divierto cantando.
Me divierto cantando canciones. (objeto directo)
Me divierto cantándoles canciones a mis hijos. (objeto indirecto)
Me divierto cantándoles canciones a mis hijos en el jardín. (complemento de lugar)
… y así hasta el infinito. Estos añadidos demuestran que el gerundio cumple función verbal.
En cuanto al gerundio como adverbio o frase adverbial, la NGLE (27.2) dice que
El gerundio puede adquirir, como se ha explicado, las funciones
gramaticales que corresponden al adverbio, pero son muy limitados los
contextos en los que acepta otros comportamientos característicos de
esta clase de palabras. Destaca entre todos ellos el adverbio de grado
tan, que en la lengua literaria aparece como modificador de un número reducido de gerundios.
A continuación la NGLE da ejemplos del tipo de tan callando, tan temblando de miedo, etc., que hoy en día son más bien literarios.
También se citan (y esto sí es interesante) gerundios lexicalizados en adverbios como pitando, con el significado de "deprisa, precipitadamente" (la construcción típica es salir pitando; en la región rioplatense se usan rajando o carpiendo con el mismo sentido, en frases como me sacaron carpiendo = "me expulsaron a las apuradas"). Se usa también como adverbio el gerundio volando con verbos de movimiento (el tiempo se me fue volando).
Es decir: el gerundio con función adverbial existe, pero es bastante raro, y no es productivo sino lexicalizado (hay que considerarlo como una palabra con un significado particular, no como una forma más del verbo del cual deriva).
