Chichi es una de las miles de formas que se usan en España para referirse a los genitales de la mujer.
En cuanto a la frase completa no tengo el chichi para farolillos, se usa de forma coloquial en España desde que se mencionara en la serie española 7 vidas en algún momento de su emisión, entre 1999 y 2006, por parte del personaje Aída.
Por tanto, vendría a ser algo así como no tengo el coño para fiestas, tal y como apunta walen en su buena respuesta.
Mirando Google Trends se observa que tuvo su auge hacia 2004 (o lo mismo antes, pero la aplicación no mira nada previo a ese año) y ha ido decayendo:

Yo nunca la he oído, pero esto tampoco quiere decir nada. Sin embargo, viendo la gráfica no me extrañaría que acabe cayendo en desuso con el tiempo si no es rescatada por alguna otra mención en televisión.
Yo asumo que la dijo el personaje de Aída, interpretado por Carmen Machi, de ahí que muchas referencias hablen de ella como autora de la frase. Fundéu, por ejemplo, cita esta frase como propia del spin-off Aída que se emitió años después (2005-2014, por lo que no tendría sentido dado que ya en 2004 se usaba la frase).
Por cierto, encontré el vídeo donde aparece la frase, pero está bloqueado por el productor. Lo dejo aquí por si algún día se le levanta el veto y así podemos saber con exactitud el capítulo en el que se dijo.