Por mi experiencia, las expresiones de cuño reciente son difíciles de rastrear cuando se trata de buscar su origen. Simplemente se pueden hacer especulaciones y tratar de ver sus primeros usos en textos escritos.
En el caso de quedarse sopa, este es el primer caso que aparece en el CREA:
¡Joder, Ofelia, tía!, ¿no podrías gritar más bajo? Me estaba quedando sopa.
ORAL. ¿Pero esto qué es?, 05/03/90, TVE 1
Esto indica que la expresión debe tener su origen hacia finales de la década de 1980, si en marzo de 1990 ya estaba asentada en el habla (la primera expresión escrita en el CREA es de 1994). De la misma década de 1980 (o puede que un poco anterior) es también la creación de la acepción del verbo sobar como dormir:
—Aún estás dormido —comentó Nano.
Antonio levantó la mano, con gesto impotente.
—Me he quedado frito en la piltra —dijo—. Pasad.
Cerró la puerta y les condujo al salón.
—Sentaos por ahí. Voy por las zapatillas.
—¿Puedes tú solo o necesitas ayuda? —le preguntó Blanca, riendo.
Antonio se volvió hacia el grupo.
—Vaya colocón, esta tarde —dijo—. Ciegos nos hemos puesto los dos. Eso te hace volar, te pone en órbita a la tercera calada. ¡Menudo ciego! Si no llamáis vosotros, aún estamos sobando.
José Luis Tomás García, "La otra orilla de la droga", 1984 (España).
He incluido las frases previas para dar contexto al texto y que quede claro que se refiere al uso de sobar como dormir.
La creacion de esta acepción de sobar (que no entró en el DLE hasta 2001) introdujo la posibilidad de expresiones como "quedarse sobado". Por otro lado, tenemos la palabra "sopor", que significa "adormecimiento, somnolencia", con una raíz similar: sop- contra sob-. A partir de aquí ya es pura especulación, pero es posible que ambas palabras sobar y sopor se fusionaran en la expresión quedarse sopa. Así, tendríamos:
Estoy entrando en un estado de sopor
me estoy quedando sobado +
--------------------------------------
Me estoy quedando sopado/sopa.
En un principio podría pensarse en la expresión "quedarse sopado", pero el verbo sopar ya existía como "hacer sopa" o "quedarse hecho una sopa", y por tanto "quedarse sopado" tendría otro significado diferente, y la expresión se creó contraída: quedarse sopa.