La frase en sí es bastante curiosa, pero ya que la pregunta habla solamente de sintaxis, me limitaré a la sintaxis.
Como ocurre con la mayoría de las oraciones en español, es posible intercambiar de lugar sus partes sin que el significado cambie. Sin embargo, algunos órdenes son comunes, otros sólo se usan para enfatizar alguna parte, y otros son realmente raros.
El patrón normal aquí sería Mi nombre se dice Pablo. En cualquier otro orden la oración suena muy extraña, aunque podría aparecer de esa manera si la métrica lo requiere (en una canción, en un poema, en un refrán). El sujeto es mi nombre y el objeto directo es Pablo, sin importar en qué orden esté la frase.
Por lo que entiendo del asunto, se dice es una forma pasiva refleja. El verbo en infinitivo, decirse, funciona como ser dicho, con el significado de ser expresado como, ser puesto en palabras como, etc.
Sobre el uso de se es conveniente consultar el Diccionario Panhispánico de Dudas (para el uso como indicador de la pasiva refleja, ver la sección 2.1 b).