Según el Diccionario Panhispánico de Dudas:
Los pronombres personales tónicos son aquellos que pueden funcionar como sujeto (TÚ sabrás), como atributo (Los culpables son ELLOS) o como término de preposición (Mi hermano vendrá con NOSOTROS).
Sería correcto, entonces, decir "parece YO", si yo fuera un atributo y parece funcionara como verbo copulativo. (Solo hay atributo cuando hay verbo copulativo, más abajo se aclara). De hecho, parece es uno de los pocos verbos copulativos del español: ser, estar y parecer.
Entonces, respuesta corta, no, no habría error.
Pero el verbo "parecer" no siempre es copulativo. De hecho tiene dos formas que son gramatical y semánticamente diferentes (en realidad son más de dos):
Cuando significa "ser similar a algo o alguien" es una forma pronominal, es decir, siempre va acompañada de un pronombre átono: se parece, parecerse, me parezco... Este verbo es predicativo, vale decir, es el verbo el que predica, el que indica la acción o el estado del sujeto. (Y los verbos predicativos no tienen atributo)
Cuando significa "dar la impresión de algo" es una forma no pronominal, vale decir, no va con pronombre átono. Por ejemplo ella parece mirarme o pareces emocionado. Este verbo es copulativo, es decir, no es el verbo el que predica, sino que una estructura llamada atributo es la que indica la acción o el estado del sujeto. (En este caso, "mirarme" y "emocionado" son atributos).
Entonces, si quieres usar el verbo "parecer" para indicar que alguien guarda semejanza contigo mismo, debes decir se parece a mí, con pronombre se. Y en este caso no puedes usar "yo" como complemento directo, porque, como cito arriba, los pronombres tónicos no sirven para eso, sólo funcionan como sujeto, atributo o término de preposición.
Queda entonces preguntarse si al decir "parece yo" estás realmente tratando de decir alguna otra cosa distinta a "él tiene parecido conmigo". Porque, ya dijimos, si estás diciendo eso entonces la forma correcta es "se parece a mí".
Para considerar "parecer" como verbo copulativo tendríamos que observar que solo aporta al predicado el modo y el tiempo, mientras que el grueso del significado está en el atributo. Pero en este caso el predicado está claramente en el verbo (el "mostrar semejanza"), mientras que el "yo" indica aquello a lo cual el sujeto se asemeja, algo mucho más cercano a un complemento directo que a un atributo.
Entonces creo que "parece yo" sirve como chiste. Se enuncia una construcción sintáctica correcta pero que no tiene correlación con aquello que se está queriendo dar a entender.