Hay dos opciones en este caso.
- Me alegro de que las cosas te estén yendo bien
- Me alegra que las cosas te estén yendo bien
En la primera, tenemos el verbo reflexivo, con la cláusula subordinada introducida con la preposición de (por lo tanto, es un complemento de régimen). Es decir, me pongo alegre, y ello es gracias al hecho de que las cosas te vayan bien.
En la segunda, tenemos un verbo transitivo con objeto directo o indirecto (es curioso que este verbo, como algunos otros, admite el uno o el otro). Aquí, la cláusula subordinada es el sujeto (por eso alegra en 3.ª persona) que causa directamente la alegría en el objeto (in)directo, por eso me.
Me alegro que no tendría sentido puesto a que tendría que estar el yo imponiendo la alegría en ... ¿sí mismo? Pero en tal caso, obliga preposición de régimen para indicar el origen de la alegría. O bien el yo estará imponiéndola en... ¿el hecho mismo? Sería difícil alegrar un hecho. Por esta misma razón, simplemente Alegro que no se podría usar, porque en tal caso, directamente estamos diciendo que causamos alegría en un hecho, que no tiene mucho sentido. Normalmente se causa alegría en una cosa o una persona, pero no en una acción.