Mover es una palabra general que se refiere a cambiar la posición de un objeto. Hay muchas formas de mover algo y también muchas condiciones en las que este movimiento se realiza.
Apartar es una forma específica de mover un objeto, siempre desde un punto de referencia hacia otro punto que está en una posición separada.
Entonces hay otras formas de mover objetos sin que necesariamente se estén apartando: acercar, centrar, correr, girar...
Como ocurre siempre en cualquier idioma, en una frase específica (como la que tú propones) dos palabras que no son sinónimos léxicos pueden funcionar como sinónimos contextuales. En mover la mirada y apartar la mirada, "mover" y "apartar" son tan sinónimos entre sí como "sal" y "salero" en pásame la sal y pásame el salero.