A falta de una respuesta más académica, recojo aquí lo más relevante de lo que se ha dicho en los comentarios, más alguna cosa que he investigado en el intertanto. Si se juzga oportuno, lo podemos convertir en wiki para que aporte más gente.
La epéntesis se refiere a la aparición de un sonido (previamente inexistente) en una palabra. El DRAE cita como ejemplo el caso de tenré>tendré (sugiriendo que la primera es una forma arcaica de la segunda, que adquirió la d por epéntesis y luego se volvió convencional.
La paragoge se refiere a la aparición de un sonido al final de una palabra. Según quién la defina, es excluyente con o un caso particular de la epéntesis. En cualquier caso, pareciera que el fenómeno señalado en la pregunta debe ser más propiamente llamado por este segundo nombre (gracias @Rodrigo).
La e paragógica (al final de verbos en infinitivo y otras palabras terminadas en consonante) es un fenómeno de aparición frecuente en la historia en el castellano.
Según este artículo, la -e final se perdió en nuestra lengua como parte de un proceso que tiene su cúlmine en el siglo XI. Sin embargo reapareció en la poesía como un recurso para resguardar la rima y el número de sílabas de los versos y se mantuvo por algunos siglos más (al parecer, cuando en el Quijote se usa el adjetivo felice es en forma de arcaísmo). Los filólogos castellanos se refieren a ese recurso también como e paragógica.
Por lo que señalan algunos colombianos en los comentarios de esta misma pregunta, el uso de la e paragógica no sería parte de ninguno de los acentos propios en ese país. Sin embargo, sí hay testimonios de su existencia en el mundo hispanohablante actual. Algunos ejemplos:
- En Nuevo México se ha documentado la aparición de una e paragógica entre hablantes nativos de castellano.
- En zonas rurales del centro y -especialmente- sur de Chile constituye un fenómeno tan arraigado, que en el habla coloquial urbana se ha asentado el término sure para significar específicamente la zona sur de ese país.
- En los verbos con imperativo irregular monosilábico, suele ocurrir la forma bisilábica "regular" (sale y pone en vez de sal y pon, con e paragógica) en el habla inculta de algunos lugares (p. ej., Las Canarias y Chile), probablemente como arcaísmo.
- A un nivel al parecer bastante transversal entre países de habla hispana (a juzgar, entre otras cosas, por la proporción de votos del comentario de @Gorpik), aparece la e paragógica como forma de habla afectada o como vicio inadvertido y ocasional en el habla de una persona que normalmente no la usa. Recuerdo el caso de un político chileno, que sin ser del sur (y con un acento razonablemente clasificable como chileno informal culto), alterna entre caer y no caer.
A falta de más antecedentes, y dado que se trata de 1) una persona que normalmente no agrega las e finales, 2) ni tiene un entorno lingüístico que pueda haberle influido, y visto que 3) los verbos estaban escritos correctamente en la carta, lo más plausible parece ser que se trataba de un caso del último tipo (afectación o vicio no atribuible al acento).
Colombiapara esta pregunta.