Para dar más validez a la respuesta de Diego, incluyo aquí lo que decía Covarrubias en su diccionario de 1611:
Estas monas apetecen el vino y las sopas mojadas en el, y haze diferentes efetos la borrachez en ellas, porque unas dan el alegrarse mucho y dar muchos saltos y bueltas; otras se encaporan, y se arriman a un rincon, encubriendose la cara con las manos. De aqui vino llamar mona triste al hombre borracho que està melancolico y callado, y mona alegre al que canta y bayla, y se huelga con todos.
Se ve por tanto que la fuente citada por Diego cita a su vez el Covarrubias. En 1734 el Autoridades decía lo siguiente:
MONA. En estilo jocoso y familiar se llama la embriaguéz o borrachera. Y tambien se llama assi al que la padece ò está borracho. [...] De aqui ha nacido llamar à los borrachos Monas, por las descompostúras que hacen con su cuerpo.
Se entiende pues que cuando se va a dormir la mona, lo que se está diciendo en realidad es que "se va a dormir el borracho".
Y por dar contexto, incluyo algunos ejemplos:
Ya de pura lástima hice a mi maña que le sirviese de grúa y metíle en el carro, y yo tras él, tan sin miedo cuan sin tardanza y sin peligro. Reclinéle sobre las capas, sobre las cuales comenzó a dormir la mona alta y profundamente.
Francisco López de Úbeda, "La pícara Justina", 1605 (España).
Y el texto del Quijote mencionado en la respuesta de Diego:
—Dáselos, Sancho —dijo don Quijote—, no para tomar el mono, sino la mona; y docientos diera yo ahora en albricias a quien me dijera con certidumbre que la señora doña Melisendra y el señor don Gaiferos estaban ya en Francia y entre los suyos.
Miguel de Cervantes Saavedra, "Segunda parte del ingenioso caballero don Quijote de la Mancha", 1615 (España).
No encuentro por la época casos de "mona alegre" o "mona triste", debían ser expresiones coloquiales.