De acuerdo a este artículo (que indica como referencia/bibliografía el Diccionario de dichos y frases hechas, de Alberto Buitrago) el origen está en un referencia al Cid (como sospechaba vasher85 en su respuesta)
Puede que la expresión esté ligada a Rodrigo Díaz de Vivar, el Cid. Seguramente fue acuñada durante la batalla de Cuarte (1094)
El Cid decidió tender una emboscada al enemigo almorávide, para lo cual, durante una noche de niebla este
Ordenó que se liaran los mantos a la cabeza como si fueran turbantes y atacaran sin mirar atrás. Finalmente, la estratagema consiguió confundir al enemigo y las tropas del Cid ganaron la batalla, aunque las bajas fueron muy numerosas.
El artículo menciona otro posible origen
Otro posible origen se refiere a las batallas medievales, cuando los soldados que iban a asaltar un castillo usaban unos ropajes (las “mantas”) para protegerse la cabeza y la espalda de las piedras, flechas o aceite caliente que les lanzaban los defensores. Como el invento no era demasiado efectivo, quedó la expresión “liarse la manta a la cabeza” como sinónimo de un acto arriesgado que no se ha pensado bien.
Viendo ambas referencias queda más claro que la expresión es "liarse" la manta (para que parezca un turbante o para que quede bien sujeta a la cabeza) y no "echarse" aunque es entendible que la gente la use así, ya que al significar
Actuar decidida y precipitadamente, de modo irreflexivo (sin tener en cuenta los posibles peligros, ni la opinión ajena).
es normal que la gente piense que simplemente te pones (echas) la manta a la cabeza, lo que te impide ver y oír bien.