At first I thought that it was just another case of polysemy, a word with two unrelated meanings, but then I investigated further...
It seems that in the 18th century the word gato and its derived word gatillo were already used as words for any kind of curved instruments. So we have, according to the Diccionario de Autoridades from 1734:
GATO. Significa también cierto instrumento que sirve para agarrar y asir fuertemente la madera, y hacerla venir al término que se pretende.
GATO. Se llama asímismo un instrumento que consta de tres garfios de acero, y sirve para reconocer y examinar el alma de los cañones y piezas de artillería.
GATO. En la Náutica es un instrumento de madera que tiene dentro un tornillo grueso de hierro, con el cual se levanta cualquier cosa por pesada que sea.
Note that this last description coincides with the current knowledge of what a jack is. Also, you can see the following descriptions for gatillo (a diminutive form for gato):
GATILLO. Se llama también cierto instrumento de hierro a modo de tenaza, con que se sacar las muelas y dientes.
GATILLO. Se llama asímismo en los arcabuces y demás armas de fuego, el hierro que sostiene la llave, y retirado con el movimiento, cae con violencia, y herido el pedernal del rastrillo, con la chispa se enciende la pólvora y sale el tiro.
The second meaning describes a trigger, and the first one a device to extract teeth. I've seen in some texts that this device could be made in the same form as a nutcracker, with curved ends. And a trigger is also curved.
So, any device with a curved form, including the way a jack curves itself, seems to have been designated after the way a cat curves its back. I'm looking for a text that confirmes this point, but I haven't found anything so far.