Es cierto lo que indican las otras resuestas a esta pregunta con respecto al sentido de las palabras plano y mapa en el uso, considerando la función, la región lingüística y la formalidad.
Pero quiero agregar una distinción con respecto al significado de las palabras, que probablemente no nos sirva mucho en el habla cotidiana, pero que sí hace una diferencia en términos técnicos y además explica por qué hay dos palabras en vez de una sola.
Todo mapa, por ser una superficie plana, representa una imagen deformada de un sector del planeta, al ser éste un volumen esférico. Esa deformación se realiza mediante una técnica geométrica que se llama "proyección", que permite representar una superficie curva en otra plana.
Para un cartógrafo, un plano es un tipo de representación de un área lo suficientemente pequeña como para que no sea necesaria una proyección. Con escalas grandes, como las del esquema de las calles de una ciudad, la deformación dada por la curvatura del planeta es imperceptible.
Entonces se puede usar plano para referirse a la representación esquemática de cualquier "objeto" del tamaño de una ciudad o menor.