Llevan tilde si lo lleva el adjetivo del que derivan.
Tal y como indica la RAE en Twitter:
#RAEconsultas Los adverbios en «-mente» conservan la tilde del adjetivo base si este la lleva: ágilmente (ágil), cordialmente (cordial).
Si buscamos un poco más, en el Diccionario Panhispánico de Dudas (DPD) encontramos lo siguiente en la entrada de acento:
4. Acentuación de palabras y expresiones compuestas
4.2. Adverbios en -mente. Los adverbios terminados en -mente se pronuncian, de forma natural y no enfática, con dos sílabas tónicas: la que corresponde al adjetivo del que derivan y la del elemento compositivo -mente (LENtaMENte). Estas palabras conservan la tilde, si la había, del adjetivo del que derivan: fácilmente (de fácil), rápidamente (de rápido); pero cordialmente (de cordial), bruscamente (de brusco).
En cuanto a la acentuación fonética, el DPD incide en lo descrito más arriba, dando algo más de detalle:
acento. Hay que distinguir entre el acento prosódico, que es el mayor relieve con que se pronuncia una determinada sílaba dentro de una palabra, y el acento gráfico u ortográfico —también llamado tilde—, que es el signo con el cual, en determinados casos, se representa en la escritura el acento prosódico.
1. Acento prosódico.
1.1. Palabras tónicas y átonas.
a) Palabras tónicas. (...) Los adverbios terminados en -mente son las únicas palabras que se pronuncian, de manera natural y no enfática, con dos sílabas tónicas: la que corresponde al adjetivo del que derivan y la del elemento compositivo -mente, cuya primera sílaba es tónica: HÁbilMENte, aLEgreMENte (sobre la acentuación gráfica de estas palabras, → tilde2, 4.2).