As Rodrigo´s answer states, there is no distinction of "may / can" and would be the context the one that gives the information about if you are saying that you can do something or if you are asking for permission.
There are though other forms to ask for permission or to inquire if doing something would bother anyone in Spanish
- Te importa/molesta + si + presenta (or que + subjuntivo)
¿Te importa si dejo esto aquí?
¿Te importa que deje esto aquí?
(Note that "te" could be changed for the third person pronoun "le" to use the "usted" form)
You could also use importar or molestar in conditional form followed by pretérito
¿Te importaría si dejase esto aquí? Te molestaría que dejase esto aquí?
- Me permites + infinitivo (or que + subjuntivo)
¿Me permites dejar esto aquí?
¿Me permites que deje esto aquí?
(Again, you could use the third form to be more formal: "Me permite que deje esto aquí?". You could use permitir in conditional form followed by pretérito: "Me permitirías dejar esto aquí?")
- Me das (o darías) permiso para + infinitivo (or que + subjuntivo)
¿Me das permiso para dejar esto aquí?
¿Me das permiso para que deje esto aquí?
(Again, the formal version: "Me da (o daría) permiso para ...")
So, if you want to avoid the use or "poder" (although there is nothing wrong with it) you could try any of the above combinations. Some of them would sound very formal, even in their informal version.
¿Me da permiso para enseñar inglés a Juan?
¿Le importaría si le enseño inglés a Juan?
¿Me permitiría enseñarle inglés a Juan?